3B SCIENTIFIC PHYSICS 1002956 User manual

1
Bedienungsanleitung
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC® PHYSICSPHYSICS
PHYSICSPHYSICS
PHYSICS
Das Drehpendel dient zur Untersuchung von freien,
erzwungenen und chaotischen Schwingungen bei ver-
schiedenen Dämpfungen.
Versuchsthemen:
•Freie Drehschwingungen bei verschiedenen Dämp-
fungen (Schwingfall mit mäßiger Dämpfung, ape-
riodische Schwingung und aperiodischer Grenzfall)
•Erzwungene Schwingungen und deren Resonanz-
kurven bei verschiedenen Dämpfungen
•Phasenverschiebung zwischen Erreger und Resona-
tor im Resonanzfall
•Chaotische Drehschwingungen
•Statische Bestimmung der Richtgröße D
•Dynamische Bestimmung des Trägheitsmoments J
1. Sicherheitshinweise
•Das Drehpendel bei der Entnahme aus der Verpa-
ckung nicht am Skalierring anfassen! Beschädi-
Drehpendel nach Prof. Pohl 1002956
06/18 ALF
1
2
3
4
5
6
7
8
gungsgefahr! Entnahme immer mit Entnahmehil-
fe (Innenverpackung) vornehmen!
•Zum Tragen des Drehpendels Gerät immer an der
Grundplatte halten.
•Maximal zulässige Versorgungsspannung des
Erregermotors (24 V DC) nicht überschreiten.
•Das Drehpendel keinen unnötigen mechanischen
Belastungen aussetzen.
2. Beschreibung, technische Daten
Das Drehpendel nach Prof. Pohl besteht aus einem auf
einer hölzernen Grundplatte montiertem schwingen-
den System und einem Elektromotor. Das schwingen-
de System ist ein kugelgelagertes Kupferrad (5), das
über eine Spiralfeder (6), die das rücktreibende Mo-
ment liefert, mit dem Erregergestänge verbunden ist.
Zur Anregung des Drehpendels dient ein Gleichstrom-
motor mit grob- und fein einstellbarer Drehzahl, der
über einen Exzenter (14) mit Schubstange (13) die Spi-
1Erregermotor
2Drehknopf zur Feineinstellung der Erregerspannung
3Drehknopf zur Grobeinstellung der Erregerspannung
4Skalenring
5Pendelkörper
6Schneckenfeder
7Zeiger zur Phasenlage des Erregers
8Zeiger zur Phasenlage des Pendelkörpers
9Zeiger für Auslenkung des Pendelkörpers
bl Erreger
bm Wirbelstrombremse
bn Führungsschlitz und Schraube zur Einstellung der Erreger-
amplitude
bo Schubstange
bp Antriebsrad mit Exzenter
bq 4-mm-Sicherheitsbuchsen zum Messen der Erregerspannung
br 4-mm-Sicherheitsbuchsen zur Versorgung des Erregermotors
bs 4-mm-Sicherheitsbuchsen zur Versorgung der Wirbelstrom-
bremse
9
bpbobnbmbl
bsbrbq

2
ralfeder in periodischer Folge auseinanderzieht und
zusammendrückt und so das Kupferrad in Schwingung
versetzt. Für die Dämpfung wird eine elektromagneti-
sche Wirbelstrombremse (11) verwendet. Ein Skalen-
ring (4) mit Schlitzen und Skala in 2-mm-Teilung um-
gibt das schwingende System; Zeiger befinden sich an
Erreger und Resonator.
Das Gerät kann auch in der Demonstration zur
Schattenprojektion verwendet werden.
Eigenfrequenz: ca. 0,5 Hz.
0 bis 1,3 Hz (stufenlos einstellbar)Erregerfrequenz:
Anschlüsse:
Motor: max. 24 V DC, 0,7 A,
über 4-mm-Sicherheitsbuchsen
Wirbelstrombremse: 0 bis 20 V DC, max. 2 A,
über 4-mm- Sicherheitsbuchsen
Skalenring: 300 mm Ø
400 mm x 140 mm x 270 mmAbmessungen:
4 kgMasse:
2.1 Lieferumfang
1 Drehpendel
2 Zusatzmassen 10 g
2 Zusatzmassen 20 g
3. Theoretische Grundlagen
3.1 Verwendete Formelzeichen
WinkelrichtgrößeD =
Massenträgheitsmoment=J
Rücktreibendes Drehmoment=M
Periodendauer=T
T0Periodendauer des ungedämpften Systems=
TdPeriodendauer des gedämpften Systems=
M

E
Amplitude des Erreger-Drehmoments=
Dämpfungsmoment=b
Periodenzahl=n
Zeit=t
ΛLogarithmisches Dekrement=
δDämpfungskonstante=
ϕ Auslenkwinkel=
ϕ

0
Amplitude zur Zeit t = 0 s=
ϕ

n
Amplitude nach n Perioden=
ϕ

E
Erregeramplitude=
ϕ

S
Systemamplitude=
ω0Eigenfrequenz des schwingenden Systems=
ωdEigenfrequenz des gedämpften Systems=
ωEErregerkreisfrequenz=
ωEres Erregerkreisfrequenz für max. Amplitude=
Ψ0S Systemnullphasenwinkel=
3.2 Harmonische Drehschwingung
Eine harmonische Schwingung liegt vor, wenn die rück-
treibende Kraft proportional zur Auslenkung ist. Bei
harmonischen Drehschwingungen ist das rück-
treibende Drehmoment proportional zum Auslenk-
winkel ϕ:
M = D · ϕ
Der Proportionalitätsfaktor D (Winkelrichtgröße) lässt
sich durch Messung des Auslenkwinkels und des aus-
lenkenden Moments errechnen.
Die Eigenkreisfrequenz des Systems ω0ergibt sich nach
Messung der Periodendauer T aus
ω
0= 2
π /T
und das Massenträgheitsmoment J aus
ω
0
2
=D
J
3.3 Freie gedämpfte Drehschwingung
Bei einem schwingenden System, bei dem durch Rei-
bungsverluste Energie verloren geht, ohne dass diese
durch von außen zugeführte Energie kompensiert wird,
verringert sich die Amplitude ständig, d.h. die Schwin-
gung ist gedämpft.
Dabei ist das Dämpfungsmoment b proportional zur
Winkelgeschwindigkeit
ϕ
.
.
Aus dem Drehmoment-Gleichgewicht ergibt sich die
Bewegungsgleichung
JbD⋅+⋅+⋅= ϕϕϕ
.. .0
Für die ungedämpfte Schwingung ist b = 0
Beginnt die Schwingung zur Zeit t = 0 s mit der maxi-
malen Amplitude
ϕ

0
ergibt sich die Lösung der Diffe-
renzialgleichung bei einer nicht zu starken Dämpfung
(δ² < ω0²) (Schwingfall)
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
δ= b/2 J ist die Dämpfungskonstante und
ωωδ
d0
22
=−
die Eigenfrequenz des gedämpften Systems.
Bei einer starken Dämpfung (δ² > ω0²) schwingt das
System nicht, sondern kriecht in die Ruhelage (Kriech-
fall).
Die Periodendauer Tddes gedämpft schwingenden Sys-
tems ändert sich gegenüber T0des ungedämpft schwin-
genden Systems bei nicht zu starker Dämpfung nur
geringfügig.
Durch Einsetzen von t= n· Tdin die Gleichung
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
und für die Amplitude nach n Perioden ϕ =
ϕ

n
erhält
man mit der Beziehung ω
d= 2
π /Td
ϕ
ϕ
δ


n
0
d
=⋅
−⋅
eT
n
und daraus das logarithmische Dekrement Λ:
Λ =⋅ =⋅






=







δϕ
ϕ
ϕ
ϕ
TnInIn
d
n
0
n
n+1
1





3
Durch Einsetzen von δ = Λ /Td, ω
0= 2
π /T0und
ω
d= 2
π /Tdin die Gleichung
ωωδ
d0
22
=−
erhält man:
TT
d0
2
2
=⋅+14
Λ
π
womit sich die Periodendauer Tdgenau berechnen
lässt, wenn T0bekannt ist.
3.4 Erzwungene Drehschwingung
Bei erzwungenen Drehschwingungen wirkt von außen
ein periodisch mit einer Sinusfunktion veränderliches
Drehmoment auf das schwingende System. In der
Bewegungsgleichung ist dieses Erregermoment zu er-
gänzen
JbD M t⋅+⋅+⋅= ⋅ ⋅
()
ϕϕϕ ω
.. .sin

EE
Nach einer Einschwingzeit schwingt das Drehpendel
in einem stationären Zustand mit derselben Kreisfre-
quenz wie der Erreger, dabei kann ωEnoch gegen ω0
phasenverschoben sein. Ψ0S ist der System-Nullphasen-
winkel, die Phasenverschiebung zwischen dem schwin-
genden System und dem Erreger.
ϕ =
ϕ

S
· sin ( ω
E· t–
Ψ
0S)
Für die Systemamplitude
ϕ

S
gilt
ϕ
ωω δω


=
−
()
+⋅
M
J
E
0
2E 22
E
2
4
2
Für das Verhältnis von Systemamplitude zu Erreger-
amplitude gilt
ϕ
ϕω
ω
δ
ω
ω
ω



S
E
E
E
0
22
0
2
E
0
2
=
−











+



⋅




M
J
14
Bei ungedämpften Schwingungen steigt die Amplitu-
de im Resonanzfall (ωEgleich ω0) theoretisch unend-
lich an und führt zur „Resonanzkatastrophe“.
Bei gedämpften Schwingungen und nicht zu starker
Dämpfung wird die Systemamplitude maximal, wobei
die Erregerkreisfrequenz ωE res kleiner ist als die Eigen-
kreisfrequenz des Systems. Diese Frequenz ergibt sich
aus
ωω δ
ω
Eres 0
2
0
2
=⋅−12
Bei starker Dämpfung gibt es keine Amplituden-
überhöhung.
Für den System-Nullphasenwinkel Ψ0S gilt
Ψ
0S
0
22
=−








arctan 2
δω
ωω
ω
Für ωE= ω0(Resonanz) ist der System-Nullphasen-
winkel Ψ0S = 90°. Dies gilt auch für δ= 0 mit entspre-
chendem Grenzübergang.
Bei gedämpften Schwingungen (δ> 0) und ωE< ω0
ergibt sich 0° ≤Ψ0S ≤90°, für ωE> ω0gilt 90° ≤Ψ0S
≤180°.
Bei ungedämpften Schwingungen (δ= 0) gilt Ψ0S = 0°
bei ωE< ω0und Ψ0S = 180° für ωE> ω0.
4.Bedienung
4.1 Freie gedämpfte Drehschwingung
•Wirbelstrombremse mit dem Ausgang für einstell-
bare Spannung des Drehpendel-Netzgeräts verbin-
den.
•Amperemeter in den Stromkreis schalten.
•Dämpfungskonstante in Abhängigkeit vom Strom
bestimmen.
4.2 Erzwungene Drehschwingung
•Anschlussbuchsen (16) des Erregermotors mit dem
Festspannungsausgang des Drehpendel-Netzgeräts
verbinden.
•Voltmeter mit den Anschlussbuchsen (15) des
Erregermotors verbinden.
•Bestimmung der Schwingungsamplitude in Abhän-
gigkeit der Erregerfrequenz bzw. der Versorgungs-
spannung.
•Bei Bedarf Wirbelstrombremse mit dem Ausgang
für einstellbare Spannung des Drehpendel-Netzge-
räts verbinden.
4.3 Chaotische Schwingungen
•Zur Erzeugung chaotischer Schwingungen stehen 4
Zusatzmassen zur Verfügung, die das lineare Rück-
stellmoment des Drehpendels verändern.
•Dazu Zusatzmasse am Pendelkörper (5) anschrau-
ben.

4
5. Versuchsbeispiele
5.1 Freie gedämpfte Drehschwingung
•Zur Bestimmung des logarithmischen Dekrements
Λwerden die Amplituden in mehrfachen Durch-
läufen gemessen und gemittelt. Dazu werden in
zwei Messreihen die Ausschläge des Drehpendels
auf der Skala jeweils links und rechts abgelesen.
•Der Startpunkt des Pendelkörpers lag bei 15 bzw.
–15 auf der Skala. Fünf Ausschläge wurden abgele-
sen.
•Aus dem Verhältnis der Amplituden ergibt sich Λ
nach der Formel
Λ =







In
ϕ
ϕ


n
n+1
n
ϕ

–
ϕ

+
0 –15 –15 –15 –15 15 15 15 15
1 –14,8 –14,8 –14,8 –14,8 14,8 14,8 14,8 14,8
2 –14,4 –14,6 –14,4 –14,6 14,4 14,4 14,6 14,4
3 –14,2 –14,4 –14,0 –14,2 14,0 14,2 14,2 14,0
4 –13,8 –14,0 –13,6 –14,0 13,8 13,8 14,0 13,8
5 –13,6 –13,8 –13,4 –13,6 13,4 13,4 13,6 13,6
nØ
ϕ

– Ø
ϕ

+ Λ – Λ +
0 –15 15
1 –14,8 14,8 0,013 0,013
2 –14,5 14,5 0,02 0,02
3 –14,2 14,1 0,021 0,028
4 –13,8 13,8 0,028 0,022
5 –13,6 13,5 0,015 0,022
•Der gemittelte Wert für Λbeträgt Λ= 0,0202.
•Für die Schwingungsdauer T des Pendels gilt
t = n · T. Dazu die Zeit für 10 Schwingungen mit
einer Stoppuhr messen und T berechnen.
T= 1,9 s
•Aus diesen Werten lässt sich die Dämpfungs-
konstante δmit δ= Λ/ T bestimmen.
δ = 0,0106 s–1
•Für die Eigenfrequenz ωgilt
ωπδ =



−
2
T
2
2
ω = 3,307 Hz
5.2 Freie gedämpfte Drehschwingung
•Zur Bestimmung der Dämpfungskonstante δin Ab-
hängigkeit vom Strom Ιdurch den Elektromagne-
ten wurde der gleiche Versuch mit zugeschalteter
Wirbelstrombremse bei Ι= 0,2 A, 0,4 A und 0,6 A
durchgeführt.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,2 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –13,6 –13,8 –13,8 –13,6 –13,7 0,0906
2 –12,6 –12,8 –12,6 –12,4 –12,6 0,13
3 –11,4 –11,8 –11,6 –11,4 –11,5 0,0913
4 –10,4 –10,6 –10,4 –10,4 –10,5 0,0909
5 9,2 –9,6 –9,6 –9,6 –9,5 0,1
•Bei T = 1,9 s und gemitteltem Λ= 0,1006 ergibt
sich die Dämpfungskonstante: δ= 0,053 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,4 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –11,8 –11,8 –11,6 –11,6 –11,7 0,248
2 –9,2 –9,0 –9,0 –9,2 –9,1 0,25
3 –7,2 –7,2 –7,0 –7,0 –7,1 0,248
4 –5,8 –5,6 –5,4 –5,2 –5,5 0,25
5 –4,2 –4,2 –4,0 –4,0 –4,1 0,29
•Bei T = 1,9 s und gemitteltem Λ= 0,257 ergibt sich
die Dämpfungskonstante: δ= 0,135 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,6 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –9,2 –9,4 –9,2 –9,2 –9,3 0,478
2 –5,4 –5,2 –5,6 –5,8 –5,5 0,525
3 –3,2 –3,2 –3,2 –3,4 –3,3 0,51
4 –1,6 –1,8 –1,8 –1,8 –1,8 0,606
5 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 0,81
•Bei T = 1,9 s und gemitteltem Λ= 0,5858 ergibt
sich die Dämpfungskonstante: δ= 0,308 s–1
5.3 Erzwungene Drehschwingung
•Zur Bestimmung der Schwingungsamplitude in Ab-
hängigkeit der Erregerfrequenz bzw. der Ver-
sorgungsspannung wird der maximale Ausschlag
des Pendelkörpers abgelesen.
T = 1,9 s
Motorspannung V
ϕ

3 0,8
4 1,1
5 1,2
6 1,6
7 3,3
7,6 20,0
8 16,8
9 1,6
10 1,1

5
•Die Eigenkreisfrequenz des Systems ω0ergibt sich
nach Messung der Periodendauer T aus
ω
0= 2 π/T = 3,3069 Hz
•Bei einer Motorspannung von 7,6 V findet die größ-
te Auslenkung statt, d.h. der Resonanzfall tritt ein.
•Dann wurde der gleiche Versuch mit zugeschalteter
Wirbelstrombremse bei Ι= 0,2 A, 0,4 A und 0,6 A
durchgeführt.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,2 A
Motorspannung V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,2
6 1,7
7 2,9
7,6 15,2
8 4,3
9 1,8
10 1,1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,4 A
Motorspannung V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,3
6 1,8
7 3,6
7,6 7,4
8 3,6
9 1,6
10 1,0
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,6 A
Motorspannung V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,2
6 1,6
7 2,8
7,6 3,6
8 2,6
9 1,3
10 1,0
•Aus diesen Messungen lassen sich die Resonanz-
kurven grafisch darstellen, indem man die Ampli-
tuden in Abhängigkeit zur Motorspannung aufträgt.
•Aus der Halbwertsbreite des Grafen kann die Reso-
nanzfrequenz grafisch ermittelt werden.
1
5
10
15
20
A
[skt]
012 345678910
I=0,0A
I=0,2A
I=0,4A
I=0,6A
u[v]
Resonanzkurven
3B Scientific GmbH • Rudorffweg 8 • 21031 Hamburg • Deutschland • www.3bscientific.com • Technische Änderungen vorbehalten

6
Operating instructions
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC® PHYSICSPHYSICS
PHYSICSPHYSICS
PHYSICS
The torsion pendulum may be used to investigate free,
forced and chaotic oscillations with various degrees of
damping.
Experiment topics:
•Free rotary oscillations at various degrees of damp-
ing (oscillations with light damping, aperiodic os-
cillation and aperiodic limit)
•Forced rotary oscillations and their resonance
curves at various degrees of damping
•Phase displacement between the exciter and reso-
nator during resonance
•Chaotic rotary oscillations
•Static determination of the direction variable D
•Dynamic determination of the moment of inertia J
1. Safety instructions
•When removing the torsional pendulum from the
packaging do not touch the scale ring. This could
Torsion Pendulum According to Prof. Pohl 1002956
06/18 ALF
1
2
3
4
5
6
7
8
lead to damage. Always remove using the handles
provided in the internal packaging.
•When carrying the torsional pendulum always hold
it by the base plate.
•Never exceed the maximum permissible supply
voltage for the exciter motor (24 V DC).
•Do not subject the torsional pendulum to any un-
necessary mechanical stress.
2. Description, technical data
The Professor Pohl torsional pendulum consists of a
wooden base plate with an oscillating system and an
electric motor mounted on top. The oscillating system
is a ball-bearing mounted copper wheel (5), which is
connected to the exciter rod via a coil spring (6) that
provides the restoring torque. A DC motor with coarse
and fine speed adjustment is used to excite the tor-
sional pendulum. Excitement is brought about via an
eccentric wheel (14) with connecting rod (13) which
1Exciter motor
2Control knob for fine adjustment of the exciter voltage
3Control knob for coarse adjustment of the exciter voltage
4Scale ring
5Pendulum body
6Coil spring
7Pointer for the exciter phase angle
8Pointer for the pendulum’s phase angle
9Pointer for the pendulum’s deflection
bl Exciter
bm Eddy current brake
bn Guide slot and screw to set the exciter amplitude
bo Connecting rod
bp Eccentric drive wheel
bq 4-mm safety socket for exciter voltage measurement
br 4-mm safety sockets for the exciter motor power supply
bs 4-mm safety sockets for the eddy current brake power
supply
9
bpbobnbmbl
bsbrbq

7
unwinds the coil spring then compresses it again in a
periodic sequence and thereby initiates the oscillation
of the copper wheel. The electromagnetic eddy cur-
rent brake (11) is used for damping. A scale ring (4)
with slots and a scale in 2-mm divisions extends over
the outside of the oscillating system; indicators are
located on the exciter and resonator.
The device can also be used in shadow projection dem-
onstrations.
Natural frequency: 0.5 Hz approx.
0 to 1.3 Hz (continuously adjust-Exciter frequency:
able)
Terminals:
Motor: max. 24 V DC, 0.7 A,
via 4-mm safety sockets
Eddy current brake: 0 to 20 V DC, max. 2 A,
via 4-mm safety sockets
Scale ring: 300 mm Ø
400 mm x 140Dimensions: mm x 270 mm
4 kgGround:
2.1 Scope of supply
1 Torsional pendulum
2 Additional 10 g weights
2 Additional 20 g weights
3. Theoretical Fundamentals
3.1 Symbols used in the equations
Angular directional variableD =
Mass moment of inertia=J
Restoring torque=M
Period=T
T0Period of an undamped system=
TdPeriod of the damped system=
M

E
Amplitude of the exciter moment=
Damping torque=b
Frequency=n
Time=t
ΛLogarithmic decrement=
δDamping constant=
ϕ Angle of deflection=
ϕ

0
Amplitude at time t = 0 s=
ϕ

n
Amplitude after n periods=
ϕ

E
Exciter amplitude=
ϕ

S
System amplitude=
ω0Natural frequency of the oscillating system=
ωdNatural frequency of the damped system=
ωEExciter angular frequency=
ωEres Exciter angular frequency for max. amplitude=
Ψ0S System zero phase angle=
3.2 Harmonic rotary oscillation
A harmonic oscillation is produced when the restoring
torque is proportional to the deflection. In the case of
harmonic rotary oscillations the restoring torque is
proportional to the deflection angle ϕ:
M = D · ϕ
The coefficient of proportionality D (angular direction
variable) can be computed by measuring the deflec-
tion angle and the deflection moment.
If the period duration T is measured, the natural reso-
nant frequency of the system ω0is given by
ω
0= 2
π /T
and the mass moment of inertia J is given by
ω
0
2=D
J
3.3 Free damped rotary oscillations
An oscillating system that suffers energy loss due to
friction, without the loss of energy being compensated
for by any additional external source, experiences a
constant drop in amplitude, i.e. the oscillation is
damped.
At the same time the damping torque b is proportional
to the deflectional angle
ϕ
.
.
The following motion equation is obtained for the
torque at equilibrium
JbD⋅+⋅+⋅= ϕϕϕ
.. .0
b = 0 for undamped oscillation.
If the oscillation begins with maximum amplitude
ϕ

0
at t = 0 s the resulting solution to the differential equa-
tion for light damping (δ² < ω0²) (oscillation) is as fol-
lows
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
δ= b/2 J is the damping constant and
ωωδ
d0
22
=−
the natural frequency of the damped system.
Under heavy damping (δ² > ω0²) the system does not
oscillate but moves directly into a state of rest or equi-
librium (non-oscillating case).
The period duration Tdof the lightly damped oscillat-
ing system varies only slightly from T0of the undamped
oscillating system if the damping is not excessive.
By inserting t= n· Tdinto the equation
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
and ϕ =
ϕ

n
for the amplitude after n periods we ob-
tain the following with the relationship ω
d= 2
π /Td
ϕ
ϕ
δ


n
0
d
=⋅
−⋅
eT
n
and thus from this the logarithmic decrement Λ:
Λ =⋅ =⋅






=







δϕ
ϕ
ϕ
ϕ
TnInIn
d
n
0
n
n+1
1





8
By inserting δ = Λ /Td, ω
0= 2
π /T0and ω
d= 2
π /Td
into the equation
ωωδ
d0
22
=−
we obtain:
TT
d0
2
2
=⋅+14
Λ
π
whereby the period Tdcan be calculated precisely pro-
vided that T0is known.
3.4 Forced oscillations
In the case of forced oscillations a rotating motion with
sinusoidally varying torque is externally applied to the
system. This exciter torque can be incorporated into
the motion equation as follows:
JbD M t⋅+⋅+⋅= ⋅ ⋅
()
ϕϕϕ ω
.. .sin

EE
After a transient or settling period the torsion pendu-
lum oscillates in a steady state with the same angular
frequency as the exciter, at the same time ωEcan still
be phase displaced with respect to ω0. Ψ0S is the sys-
tem’s zero-phase angle, the phase displacement be-
tween the oscillating system and the exciter.
ϕ =
ϕ

S
· sin ( ω
E· t–
Ψ
0S)
The following holds true for the system amplitude
ϕ

S
ϕ
ωω δω


=
−
()
+⋅
M
J
E
0
2E 22
E
2
4
2
The following holds true for the ratio of system ampli-
tude to the exciter amplitude
ϕ
ϕω
ω
δ
ω
ω
ω



S
E
E
E
0
22
0
2
E
0
2
=
−











+



⋅




M
J
14
In the case of undamped oscillations, theoretically
speaking the amplitude for resonance (ωEequal to ω0)
increases infinitely and can lead to “catastrophic reso-
nance”.
In the case of damped oscillations with light damping
the system amplitude reaches a maximum where the
exciter’s angular frequency ωE res is lower than the sys-
tem’s natural frequency. This frequency is given by
ωω δ
ω
Eres 0
2
0
2
=⋅−12
Stronger damping does not result in excessive ampli-
tude.
For the system’s zero phase angle Ψ0S the following is
true:
Ψ
0S
0
22
=−








arctan 2
δω
ωω
ω
For ωE= ω0(resonance case) the system’s zero-phase
angle is Ψ0S = 90°. This is also true for δ= 0 and the
oscillation passes its limit at this value.
In the case of damped oscillations (δ> 0) where
ωE< ω0, we find that 0° ≤Ψ0S ≤90° and when ωE> ω0
it is found that 90° ≤Ψ0S ≤180°.
In the case of undamped oscillations (δ= 0), Ψ0S = 0°
for ωE< ω0and Ψ0S = 180° for ωE> ω0.
4. Operation
4.1 Free damped rotary oscillations
•Connect the eddy current brake to the variable volt-
age output of the DC power supply for torsion pen-
dulum.
•Connect the ammeter into the circuit.
•Determine the damping constant as a function of
the current.
4.2 Forced oscillations
•Connect the fixed voltage output of the DC power
supply for the torsion pendulum to the sockets (16)
of the exciter motor.
•Connect the voltmeter to the sockets (15) of the
exciter motor.
•Determine the oscillation amplitude as a function
of the exciter frequency and of the supply voltage.
•If needed connect the eddy current brake to the
variable voltage output of the DC power supply for
the torsion pendulum.
4.3 Chaotic oscillations
•To generate chaotic oscillations there are 4 supple-
mentary weights at your disposal which alter the
torsion pendulum’s linear restoring torque.
•To do this screw the supplementary weight to the
body of the pendulum (5).

9
5. Example experiments
5.1 Free damped rotary oscillations
•To determine the logarithmic decrement Λ, the
amplitudes are measured and averaged out over
several runs. To do this the left and right deflec-
tions of the torsional pendulum are read off the
scale in two sequences of measurements.
•The starting point of the pendulum body is located
at +15 or –15 on the scale. Take the readings for
five deflections.
•From the ratio of the amplitudes we obtain Λus-
ing the following equation
Λ =







In
ϕ
ϕ


n
n+1
n
ϕ

–
ϕ

+
0 –15 –15 –15 –15 15 15 15 15
1 –14.8 –14.8 –14.8 –14.8 14.8 14.8 14.8 14.8
2 –14.4 –14.6 –14.4 –14.6 14.4 14.4 14.6 14.4
3 –14.2 –14.4 –14.0 –14.2 14.0 14.2 14.2 14.0
4 –13.8 –14.0 –13.6 –14.0 13.8 13.8 14.0 13.8
5 –13.6 –13.8 –13.4 –13.6 13.4 13.4 13.6 13.6
nØ
ϕ

– Ø
ϕ

+ Λ – Λ +
0 –15 15
1 –14.8 14.8 0.013 0.013
2 –14.5 14.5 0.02 0.02
3 –14.2 14.1 0.021 0.028
4 –13.8 13.8 0.028 0.022
5 –13.6 13.5 0.015 0.022
•The average value for Λcomes to Λ= 0.0202.
•For the pendulum oscillation period T the follow-
ing is true: t = n · T. To measure this, record the
time for 10 oscillations using a stop watch and cal-
culate T.
T= 1.9 s
•From these values the damping constant δcan be
determined from δ= Λ/ T.
δ = 0.0106 s–1
•For the natural frequency ωthe following holds
true
ωπδ =



−
2
T
2
2
ω = 3.307 Hz
5.2 Free damped rotary oscillations
•To determine the damping constant δas a func-
tion of the current Ιflowing through the electro-
magnets the same experiment is conducted with
an eddy current brake connected at currents of
Ι= 0.2 A, 0.4 A and 0.6 A.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0.2 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –13.6 –13.8 –13.8 –13.6 –13.7 0.0906
2 –12.6 –12.8 –12.6 –12.4 –12.6 0.13
3 –11.4 –11.8 –11.6 –11.4 –11.5 0.0913
4 –10.4 –10.6 –10.4 –10.4 –10.5 0.0909
5 9.2 –9.6 –9.6 –9.6 –9.5 0.1
•For T = 1.9 s and the average value of Λ= 0.1006
we obtain the damping constant: δ= 0.053 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0.4 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –11.8 –11.8 –11.6 –11.6 –11.7 0.248
2 –9.2 –9.0 –9.0 –9.2 –9.1 0.25
3 –7.2 –7.2 –7.0 –7.0 –7.1 0.248
4 –5.8 –5.6 –5.4 –5.2 –5.5 0.25
5 –4.2 –4.2 –4.0 –4.0 –4.1 0.29
•For T = 1.9 s and an average value of Λ= 0.257 we
obtain the damping constant: δ= 0.135 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0.6 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –9.2 –9.4 –9.2 –9.2 –9.3 0.478
2 –5.4 –5.2 –5.6 –5.8 –5.5 0.525
3 –3.2 –3.2 –3.2 –3.4 –3.3 0.51
4 –1.6 –1.8 –1.8 –1.8 –1.8 0.606
5 –0.8 –0.8 –0.8 –0.8 –0.8 0.81
•For T = 1.9 s and an average value of Λ= 0.5858
we obtain the damping constant: δ= 0.308 s–1
5.3 Forced rotary oscillation
•Take a reading of the maximum deflection of the
pendulum body to determine the oscillation am-
plitude as a function of the exciter frequency or
the supply voltage.
T = 1.9 s
Motor voltage V
ϕ

3 0.8
4 1.1
5 1.2
6 1.6
7 3.3
7.6 20.0
8 16.8
9 1.6
10 1.1

10
•After measuring the period T the natural frequency
of the system ω0can be obtained from
ω
0= 2 π/T = 3.3069 Hz
•The most extreme deflection arises at a motor volt-
age of 7.6 V, i.e. the resonance case occurs.
•Then the same experiment is performed with an
eddy current brake connected at currents of
Ι= 0.2 A, 0.4 A and 0.6 A.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0.2 A
Motor voltage V
ϕ

3.0 0.9
4.0 1.1
5.0 1.2
6.0 1.7
7.0 2.9
7.6 15.2
8.0 4.3
9.0 1.8
10.0 1.1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0.4 A
Motor voltage V
ϕ

3.0 0.9
4.0 1.1
5.0 1.3
6.0 1.8
7.0 3.6
7.6 7.4
8.0 3.6
9.0 1.6
10.0 1.0
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0.6 A
Motor voltage V
ϕ

3.0 0.9
4.0 1.1
5.0 1.2
6.0 1.6
7.0 2.8
7.6.0 3.6
8.0 2.6
9.0 1.3
10.0 1.0
•From these measurements the resonance curves can
be plotted in a graph depicting the amplitudes
against the motor voltage.
•The resonant frequency can be determined by find-
ing the half-width value from the graph.
Resonance curves
1
5
10
15
20
A
[skt]
012 345678910
I=0,0A
I=0,2A
I=0,4A
I=0,6A
u[v]
3B Scientific GmbH • Rudorffweg 8 • 21031 Hamburg • Germany • www.3bscientific.com • Technical amendments may occur

11
Instructions d‘utilisation
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC® PHYSICSPHYSICS
PHYSICSPHYSICS
PHYSICS ®
Le pendule tournant sert à l’analyse d’oscillations li-
bres, forcées et chaotiques en présence de différents
amortissements.
Thèmes des expériences :
•Libres oscillations tournantes avec différents amor-
tissements (oscillations avec amortissement mo-
déré, oscillation apériodique et cas limite apério-
dique)
•Oscillations forcées et ses courbes de résonance avec
différents amortissements
•Déphasage entre l’excitateur et le résonateur en cas
de résonance
•Oscillations tournantes chaotiques
•Détermination statique de la grandeur direction-
nelle D
•Détermination dynamique du moment d’inertie J
1. Consignes de sécurité
•Lorsque vous retirez le pendule de l’emballage, ne
Pendule tournant d’après Prof. Pohl 1002956
06/18 ALF
1
2
3
4
5
6
7
8
le saisissez pas à hauteur de la bague graduée !
Risque d’endommagement ! Retirez-le toujours en
saisissant l’emballage intérieur.
•Pour porter le pendule, tenez toujours l’appareil
par la plaque de base.
•Ne pas dépasser la tension d’alimentation maxi-
mum admissible du moteur excitateur de 24 V CC.
•Ne pas exposer le pendule à des charges mécani-
ques inutiles.
2. Description, caractéristiques techniques
Le pendule tournant d’après Prof. Pohl est constitué
d’un système oscillant monté sur une plaque de base
en bois et d’un moteur électrique. Le système oscillant
est constitué d’une roue en cuivre (5) montée sur un
roulement à billes qui est reliée à la barre de
l’excitateur par un ressort spiral (6) fournissant le cou-
ple de rappel. Le pendule est excité par un moteur à
courant continu à vitesse réglage (réglages grossier et
fin) qui, par l’action d’un excentrique (14) à barre de
1Moteur excitateur
2Bouton tournant pour le réglage fin de la tension d’excita-
tion
3Bouton tournant pour le réglage grossier de la tension
d’excitation
4Bague graduée
5Corps du pendule
6Ressort conique
7Pointeur indiquant la phase de l’excitateur
8Pointeur indiquant la phase du corps du pendule
9Pointeur indiquant la déviation du corps du pendule
bl Excitateur
bm Frein à courants de Foucault
bn Fente de guidage et vis pour le réglage de l’amplitude
d’excitation
bo Barre de traction
bp Roue d’entraînement à excentrique
bq Douilles de sécurité de 4 mm pour la mesure de la tension
d’excitation
br Douilles de sécurité de 4 mm pour l’alimentation du moteur
excitateur
bs Douilles de sécurité de 4 mm pour l’alimentation du frein à
courants de Foucault
9
bpbobnbmbl
bsbrbq

12
traction (13), étire et comprime régulièrement le res-
sort spiral et fait ainsi osciller la roue en cuivre. Un
frein électromagnétique à courants de Foucault (11)
est utilisé pour l’amortissement. Une bague graduée
(4) à fentes et graduation en pas de 2 mm entoure le
système oscillant ; l’excitateur et le résonateur sont
pourvus de pointeurs.
L’appareil peut aussi être utilisé en démonstration pour
la projection d’ombres.
Fréquence propre : env. 0,5 Hz.
0 à 1,3 HzFréquence d’excitateur :
(réglable en continu)
Connexions :
max. 24 V CC, 0,7 A,Moteur :
douilles de sécurité
de 4 mm
Frein à courants
de Foucault : 0 à 20 V CC, max. 2 A,
douilles de sécurité
de 4 mm
Ø 300 mmBague graduée :
Dimensions : 400 mm x 140 mm x 270 mm
4 kgMasse :
2.1 Matériel fourni
1 pendule tournant
2 masses supplémentaires de 10 g
2 masses supplémentaires de 20 g
3. Notions théoriques
3.1 Symboles utilisés dans les formules
grandeur directionnelle angulaireD =
moment d’inertie de masse=J
couple de rappel=M
durée d’une période=T
T0durée d’une période du système non amorti=
Tddurée d’une période du système amorti=
M

E
amplitude du couple de l’excitateur=
couple d’amortissement=b
nombre de périodes=n
temps=t
Λdécrément logarithmique=
δconstante d’amortissement=
ϕ angle de déviation=
ϕ

0
amplitude au temps t = 0 s=
ϕ

n
amplitude après n périodes=
ϕ

E
amplitude de l’excitateur=
ϕ

S
amplitude du système=
ω0propre fréquence du système oscillant=
ωdpropre fréquence du système amorti=
ωEfréquence angulaire de l’excitateur=
ωEres fréquence angulaire de l’excitateur=
pour l’amplitude max.
Ψ0S angle de phase nulle du système=
3.2 Oscillation tournante harmonique
Une oscillation est harmonique lorsque la force de rap-
pel est proportionnelle à la déviation. En présence d’os-
cillations tournantes harmoniques, le couple de rap-
pel est proportionnel à l’angle de déviation ϕ:
M = D · ϕ
Le facteur de proportionnalité D (grandeur direction-
nelle angulaire) peut être déterminé en mesurant l’an-
gle de déviation et le couple déviant.
D’après la mesure de la durée d’une période T, la fré-
quence angulaire propre du système ω0résulte de
l’équation suivante :
ω
0= 2
π /T
et le moment d’inertie de masse de l’équation sui-
vante :
ω
0
2
=D
J
3.3 Oscillation tournante amortie libre
En présence d’un système oscillant où de l’énergie est
perdue suite à des pertes dues aux frottements, sans
qu’elle ne soit compensée par de l’énergie apportée
de l’extérieur, l’amplitude diminue continuellement,
c’est-à-dire que l’oscillation est amortie.
Le couple d’amortissement b est proportionnel à la
vitesse angulaire
ϕ
.
.
L’équation suivante du mouvement résulte de l’équili-
bre du couple :
JbD⋅+⋅+⋅= ϕϕϕ
.. .0
Si l’oscillation n’est pas amortie, b = 0.
Si l’oscillation commence au moment t = 0 s avec une
amplitude maximale
ϕ

0
,,
,,
,on obtient l’équation diffé-
rentielle avec un amortissement pas trop élevé
(δ² < ω0²) (cas d’oscillation)
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
δ= b/2 J représente la constante d’amortissement et
ωωδ
d0
22
=−
la propre fréquence du système amorti.
Si l’amortissement est élevé (δ² > ω0²) le système n’os-
cille plus, mais rampe en position de repos (cas de
rampement).
Lorsque l’amortissement n’est pas trop important, la
durée Tdd’une période du système oscillant amorti ne
se modifie que légèrement par rapport à T0du sys-
tème oscillant non amorti.
En remplaçant t= n· Tddans l’équation
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
et pour l’amplitude après n périodes ϕ =
ϕ

n
, on ob-
tient avec l’équation ω
d= 2
π /Td
ϕ
ϕ
δ


n
0
d
=⋅
−⋅
eT
n

13
et ainsi le décrément logarithmique Λ:
Λ =⋅ =⋅






=







δϕ
ϕ
ϕ
ϕ
TnIn In
d
n
0
n
n+1
1




En remplaçant δ = Λ /Td, ω
0= 2
π /T0et ω
d= 2
π /Td
dans l’équation
ωωδ
d0
22
=−
on obtient :
TT
d0
2
2
=⋅+14
Λ
π
ce qui permet de calculer avec précision la durée d’une
période Td, dans la mesure où l’on connaît T0.
3.4 Oscillation tournante forcée
En présence d’oscillations tournantes forcées, un cou-
ple modifiable périodiquement par une fonction si-
nusoïdale agit de l’extérieur sur le système oscillant.
Ce couple d’excitation doit être complété dans l’équa-
tion de mouvement
JbD M t⋅+⋅+⋅= ⋅ ⋅
()
ϕϕϕ ω
.. .sin

EE
Après une certaine période transitoire, le pendule tour-
nant oscille dans un état stationnaire à la même fré-
quence angulaire que l’excitateur, ωEpouvant encore
être déphasé par rapport à ω0. Ψ0S représente l’angle
de phase nulle du système, le déphasage entre le sys-
tème oscillant et l’excitateur.
ϕ =
ϕ

S
· sin ( ω
E· t–
Ψ
0S)
Pour l’amplitude du système
ϕ

S
, on a l’équation sui-
vante :
ϕ
ωω δω


=
−
()
+⋅
M
J
E
0
2E 22
E
2
4
2
Pour le rapport entre l’amplitude du système et celle
de l’excitateur, on a l’équation suivante :
ϕ
ϕω
ω
δ
ω
ω
ω



S
E
E
E
0
22
0
2
E
0
2
=
−











+



⋅




M
J
14
En cas de résonance (ωE= ω0), si les oscillations ne
sont pas amorties, l’amplitude augmente théorique-
ment jusqu’à l’infini et entraîne une « catastrophe de
résonance ».
Si les oscillations sont amorties et l’amortissement pas
trop important, l’amplitude du système est maximale,
la fréquence angulaire de l’excitateur ωE res étant infé-
rieure à la fréquence angulaire propre du système.
Cette fréquence résulte de
ωω δ
ω
Eres 0
2
0
2
=⋅−12
Si l’amortissement est trop important, l’amplitude
n’augmente pas.
L’équation suviante s’applique à l’angle de phase nulle
du système Ψ0S :
Ψ
0S
0
22
=−








arctan 2
δω
ωω
ω
Si ωE= ω0(résonance), l’angle de phase nulle du sys-
tème Ψ0S = 90°. Ceci s’applique également pour δ= 0
avec un passage correspondant à la limite.
Avec des oscillations amorties (δ> 0) et ωE< ω0, on
obtient 0° ≤Ψ0S ≤90°, avec ωE> ω0on obtient 90° ≤
Ψ0S ≤180°.
Avec des oscillations amorties (δ= 0), Ψ0S = 0° à ωE< ω0
et Ψ0S = 180° à ωE> ω0.
4. Manipulation
4.1 Oscillation tournante amortie libre
•Relier le frein à courants de Foucault à la sortie de
tension réglable de l’alimentation du pendule tour-
nant.
•Connecter l’ampèremètre au circuit électrique.
•Déterminer la constante d’amortissement en fonc-
tion du courant.
4.2 Oscillation tournante forcée
•Relier les douilles de connexion (16) du moteur
excitateur à la sortie de tension fixe de l’alimenta-
tion du pendule tournant.
•Relier le voltmètre aux douilles de connexion (15)
du moteur excitateur.
•Déterminer l’amplitude de l’oscillation en fonction
de la fréquence de l’excitateur et de la tension d’ali-
mentation.
•Au besoin, relier le frein à courants de Foucault à
la sortie destinée à la tension réglable de l’alimen-
tation du pendule tournant.
4.3 Oscillations chaotiques
•Pour générer des oscillations chaotiques, on peut
utiliser les 4 masses supplémentaires qui permet-
tent de modifier le couple de rappel linéaire du
pendule tournant.
•Visser pour cela la masse au corps du pendule (5).

14
5. Exemples d’expériences
5.1 Oscillation tournante amortie libre
•Pour définir le décrément logarithmique Λ, mesu-
rer et déterminer les amplitudes en plusieurs pas-
sages. Pour cela, au cours de deux séries de mesu-
res, lire les déviations du pendule tournant sur la
graduation à gauche et à droite.
•Le point de départ du corps du pendule était 15 ou
–15 sur la graduation. Cinq déviations ont été lues.
•A partir du rapport des amplitudes, on obtient Λà
l’aide de la formule suivante :
Λ =







In
ϕ
ϕ


n
n+1
n
ϕ

–
ϕ

+
0 –15 –15 –15 –15 15 15 15 15
1 –14,8 –14,8 –14,8 –14,8 14,8 14,8 14,8 14,8
2 –14,4 –14,6 –14,4 –14,6 14,4 14,4 14,6 14,4
3 –14,2 –14,4 –14,0 –14,2 14,0 14,2 14,2 14,0
4 –13,8 –14,0 –13,6 –14,0 13,8 13,8 14,0 13,8
5 –13,6 –13,8 –13,4 –13,6 13,4 13,4 13,6 13,6
nØ
ϕ

– Ø
ϕ

+ Λ – Λ +
0 –15 15
1 –14,8 14,8 0,013 0,013
2 –14,5 14,5 0,02 0,02
3 –14,2 14,1 0,021 0,028
4 –13,8 13,8 0,028 0,022
5 –13,6 13,5 0,015 0,022
•La valeur déterminée pour Λest Λ= 0,0202.
•Pour la durée d’oscillation T du pendule, t = n · T.
Pour cela, mesurer avec un chronomètre la durée
de 10 oscillations et calculer T.
T= 1,9 s
•Ces valeurs permettent de déterminer la constante
d’amortissement δavec δ= Λ/ T.
δ = 0,0106 s–1
•Pour la fréquence propre ω, on a l’équation
ωπδ =



−
2
T
2
2
ω = 3,307 Hz
5.2 Oscillation tournante amortie libre
•Pour déterminer la constante d’amortissement δ
en fonction de l’intensité Ιpar l’électro-aimant, la
même expérience a été réalisée avec un frein à cou-
rants de Foucault à Ι= 0,2 A, 0,4 A et 0,6 A.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,2 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –13,6 –13,8 –13,8 –13,6 –13,7 0,0906
2 –12,6 –12,8 –12,6 –12,4 –12,6 0,13
3 –11,4 –11,8 –11,6 –11,4 –11,5 0,0913
4 –10,4 –10,6 –10,4 –10,4 –10,5 0,0909
5 9,2 –9,6 –9,6 –9,6 –9,5 0,1
•Avec T = 1,9 s et la moyenne Λ= 0,1006, on ob-
tient la constante d’amortissement : δ= 0,053 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,4 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –11,8 –11,8 –11,6 –11,6 –11,7 0,248
2 –9,2 –9,0 –9,0 –9,2 –9,1 0,25
3 –7,2 –7,2 –7,0 –7,0 –7,1 0,248
4 –5,8 –5,6 –5,4 –5,2 –5,5 0,25
5 –4,2 –4,2 –4,0 –4,0 –4,1 0,29
•Avec T = 1,9 s et la moyenne Λ= 0,257, on obtient
la constante d’amortissement : δ= 0,135 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,6 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –9,2 –9,4 –9,2 –9,2 –9,3 0,478
2 –5,4 –5,2 –5,6 –5,8 –5,5 0,525
3 –3,2 –3,2 –3,2 –3,4 –3,3 0,51
4 –1,6 –1,8 –1,8 –1,8 –1,8 0,606
5 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 0,81
•Avec T = 1,9 s et la moyenne Λ= 0,5858 on obtient
la constante d’amortissement : δ= 0,308 s–1
5.3 Oscillation tournante forcée
•Pour déterminer l’amplitude de l’oscillation en
fonction de la fréquence de l’excitateur et de la ten-
sion d’alimentation, lire la déviation maximale du
corps du pendule.
T = 1,9 s
Tension moteur V
ϕ

3 0,8
4 1,1
5 1,2
6 1,6
7 3,3
7,6 20,0
8 16,8
9 1,6
10 1,1

15
1
5
10
15
20
A
[skt]
012 345678910
I=0,0A
I=0,2A
I=0,4A
I=0,6A
u[v]
Courbes de résonance
•D’après la mesure de la durée d’une période T, la
fréquence angulaire propre du système ω0résulte
de l’équation suivante :
ω
0= 2 π/T = 3,3069 Hz
•La déviation maximale a lieu avec une tension de
moteur de 7,6 V, c’est-à-dire qu’il y a résonance.
•Puis, la même expérience a été réalisée avec un
frein à courants de Foucault à Ι= 0,2 A, 0,4 A et
0,6 A.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,2 A
Tension moteur V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,2
6 1,7
7 2,9
7,6 15,2
8 4,3
9 1,8
10 1,1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,4 A
Tension moteur V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,3
6 1,8
7 3,6
7,6 7,4
8 3,6
9 1,6
10 1,0
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,6 A
Tension moteur V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,2
6 1,6
7 2,8
7,6 3,6
8 2,6
9 1,3
10 1,0
•A partir de ces mesures, on peut représenter les
courbes de résonance sous forme graphique en re-
portant les amplitudes en fonction de la tension
de moteur.
•La largeur de valeur moyenne du graphe permet
de représenter dans un graphique la fréquence de
résonance.
3B Scientific GmbH • Rudorffweg 8 • 21031 Hamburg • Allemagne • www.3bscientific.com • Sous réserve de modifications techniques

16
Istruzioni per l’uso
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC3B SCIENTIFIC
3B SCIENTIFIC® PHYSICSPHYSICS
PHYSICSPHYSICS
PHYSICS
Il pendolo di torsione serve per esaminare oscillazioni
libere, forzate e caotiche con smorzamenti diversi.
Argomenti degli esperimenti:
•oscillazioni di torsione libere con smorzamenti di-
versi (oscillazione con smorzamento moderato,
oscillazione aperiodica e caso limite aperiodico)
•oscillazioni forzate e relative curve di risonanza con
smorzamenti diversi
•spostamento di fase tra eccitatore e risonatore in
caso di risonanza
•oscillazioni di torsione caotiche
•determinazione statica della costante di collega-
mento D
•determinazione dinamica del momento d’inerzia J
1. Norme di sicurezza
•Durante l’estrazione dall’imballaggio, non afferra-
re il pendolo di torsione in corrispondenza del-
l’anello graduato! Rischio di danneggiamento! Du-
Pendolo di torsione del Prof. Pohl 1002956
06/18 ALF
1
2
3
4
5
6
7
8
rante l’estrazione utilizzare sempre l’opportuno
ausilio (imballaggio interno)!
•Per trasportare il pendolo di torsione, tenere sem-
pre l’apparecchio sulla piastra di base.
•Non superare la tensione di alimentazione max.
ammessa del motore ad eccitazione (24 V CC).
•Non sottoporre il pendolo di torsione a sollecita-
zioni meccaniche non necessarie.
2. Descrizione, caratteristiche tecniche
Il pendolo di torsione del Prof. Pohl è composto da un
sistema oscillante montato su una piastra di base in
legno e da un motore elettrico. Il sistema oscillante si
compone di una ruota di rame con cuscinetti a sfera
(5), collegata all’asta di eccitazione tramite una molla
a spirale (6), che fornisce il momento di richiamo. Per
eccitare il pendolo di torsione è necessario un motore
a corrente continua con velocità a regolazione fine e
grossolana, che mediante un eccentrico (14) con leva
di trasmissione (13) separa e comprime le molle a spi-
1Motore ad eccitazione
2Manopola di microregolazione della tensione di eccitazione
3Manopola di macroregolazione della tensione di eccitazione
4Anello graduato:
5Corpo del pendolo
6Molle a spirale
7Indicatore della posizione di fase dell’eccitatore
8Indicatore della posizione di fase del corpo del pendolo
9Indicatore per la deviazione del corpo del pendolo
bl Eccitatore
bm Freno a corrente di Foucault:
bn Fessura di guida e vite per la regolazione dell’ampiezza
dell’eccitatore
bo Leva di trasmissione
bp Ruota motrice con eccentrico
bq Jack di sicurezza da 4 mm per la misurazione della tensione
di eccitazione
br Jack di sicurezza da 4 mm per l’alimentazione del motore
ad eccitazione
bs Jack di sicurezza da 4 mm per l’alimentazione del freno a
corrente di Foucault
9
bpbobnbmbl
bsbrbq

17
rale in sequenza periodica, mettendo in tal modo in
moto la ruota di rame. Per lo smorzamento si utilizza
un freno elettromagnetico a corrente di Foucault (11).
Un anello graduato (4) con fessure e scala con divisio-
ni da 2 mm circonda il sistema oscillante; sull’eccitatore
e sul risonatore si trovano indicatori.
L’apparecchio può essere utilizzato anche nella dimo-
strazione della proiezione d’ombra.
Frequenza propria: ca. 0,5 Hz.
da 0 a 1,3 HzFrequenza di eccitazione:
(regolabile di continuo)
Connessioni:
Motore: max. 24 V CC, 0,7 A,
mediante jack di
sicurezza da 4 mm
Freno a corrente di Foucault: da 0 a 20 V CC, max. 2 A,
mediante jack di
sicurezza da 4 mm
Anello graduato: 300 mm Ø
Dimensioni: 400 mm x 140 mm x 270 mm
4 kgPeso:
2.1 Fornitura
1 pendolo di torsione
2 masse supplementari da 10 g
2 masse supplementari da 20 g
3. Principi teorici
3.1 Simboli delle formule utilizzati
costante di collegamento angolareD =
momento di inerzia delle masse=J
momento torcente di richiamo=M
periodo=T
T0periodo del sistema non smorzato=
Tdperiodo del sistema smorzato=
M

E
ampiezza del momento torcente=
dell'eccitatore
momento di smorzamento=b
frequenza=n
tempo=t
Λdecremento logaritmico=
δcostante di smorzamento=
ϕ angolo di deviazione=
ϕ

0
ampiezza relativa al tempo t = 0 s=
ϕ

n
ampiezza dopo n periodi=
ϕ

E
ampiezza di eccitazione=
ϕ

S
ampiezza del sistema=
ω0frequenza propria del sistema oscillante=
ωdfrequenza propria del sistema smorzato=
ωEfrequenza del circuito di eccitazione=
ωEres frequenza del circuito di eccitazione per=
ampiezza max.
Ψ0S angolo di fase zero del sistema=
3.2 Oscillazione di torsione armonica
Un'oscillazione armonica è presente se la forza di ri-
chiamo è proporzionale alla deviazione. In caso di oscil-
lazioni di torsione armoniche il momento torcente di
richiamo è proporzionale all'angolo di deviazione ϕ:
M = D · ϕ
Il fattore di proporzionalità D (costante di collegamento
angolare) può essere calcolato mediante misurazione
dell'angolo di deviazione e del momento deviante.
La frequenza del circuito proprio del sistema ω0si ot-
tiene dalla misurazione del periodo T
ω
0= 2
π /T
e il momento di inerzia delle masse J da
ω
0
2=D
J
3.3 Oscillazione di torsione smorzata libera
In un sistema oscillante, nel quale si verificano perdi-
te di energia a causa di perdite per attriti, senza che
l'energia venga compensata da energia apportata dal-
l'esterno, l'ampiezza si riduce costantemente, ossia
l'oscillazione è smorzata.
In ciò il momento di smorzamento b è proporzionale
alla velocità angolare
ϕ
.
.
Dall'equilibrio del momento torcente si ottiene l'equa-
zione del moto
JbD⋅+⋅+⋅= ϕϕϕ
.. .0
Per l'oscillazione non smorzata, b = 0
Se inizia l'oscillazione relativa al tempo t = 0 s con
l'ampiezza massima
ϕ

0
si ottiene la soluzione del-
l'equazione differenziale con uno smorzamento non
troppo potente (δ² < ω0²) (oscillazione)
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
δ= b/2 J è la costante di smorzamento e
ωωδ
d0
22
=−
ω
d= frequenza propria del sistema smorzato.
In caso di smorzamento potente (δ² > ω0²) il sistema
non oscilla ma scorre in posizione di riposo (scorrimen-
to).
In caso di smorzamento non troppo potente, il perio-
do Tddel sistema oscillante smorzato cambia solo leg-
germente rispetto a T0del sistema oscillante non smor-
zato.
Inserendo t= n· Tdnell'equazione
ϕ =
ϕ

0
· e–δ·t · cos ( ω
d· t)
e per l'ampiezza in base a n periodi ϕ =
ϕ

n
si ottiene
con la definizione ω
d= 2
π /Td
ϕ
ϕ
δ


n
0
d
=⋅
−⋅
eT
n
e da ciò il decremento logaritmico Λ:
Λ =⋅ =⋅






=







δϕ
ϕ
ϕ
ϕ
TnInIn
d
n
0
n
n+1
1





18
Inserendo δ = Λ /Td, ω
0= 2
π /T0e ω
d= 2
π /Td
nell'equazione
ωωδ
d0
22
=−
si ottiene:
TT
d0
2
2
=⋅+14
Λ
π
dove il periodo Tdpuò essere calcolato con precisione,
se è noto T0.
3.4 Oscillazione di torsione forzata
In caso di oscillazioni di torsione forzate agisce dal-
l'esterno un momento torcente variabile periodica-
mente con una funzione sinusoidale sul sistema oscil-
lante. Questo momento di eccitazione deve essere in-
tegrato nell'equazione del moto.
JbD M t⋅+⋅+⋅= ⋅ ⋅
()
ϕϕϕ ω
.. .sin

EE
Dopo un tempo di assestamento il pendolo di torsio-
ne oscilla in uno stato stazionario con la stessa fre-
quenza del circuito dell'eccitatore, dove ωEpuò essere
ulteriormente spostato di fase verso ω0. Ψ0S è l'angolo
di fase zero del sistema, lo spostamento di fase tra il
sistema oscillante e l'eccitatore.
ϕ =
ϕ

S
· sin ( ω
E· t–
Ψ
0S)
Per l'ampiezza del sistema
ϕ

S
vale
ϕ
ωω δω


=
−
()
+⋅
M
J
E
0
2E 22
E
2
42
Per il rapporto tra l'ampiezza del sistema e l'ampiezza
dell'eccitatore vale
ϕ
ϕω
ω
δ
ω
ω
ω



S
E
E
E
0
22
0
2
E
0
2
=
−











+



⋅




M
J
14
Con oscillazioni non smorzate aumenta l'ampiezza in
caso di risonanza (ωEuguale a ω0) teoricamente all'in-
finito e viene determinata una "catastrofe di risonan-
za".
Con oscillazioni smorzate e uno smorzamento non
troppo potente, l'ampiezza del sistema diventa massi-
ma, dove la frequenza del circuito dell'eccitatore ωE res
è inferiore rispetto alla frequenza del circuito proprio
del sistema. Questa frequenza si ottiene da
ωω δ
ω
Eres 0
2
0
2
=⋅−12
In caso di smorzamento potente non si verifica alcun
incremento di ampiezza.
Per l'angolo di fase zero del sistema Ψ0S vale
Ψ
0S
0
22
=−








arctan 2
δω
ωω
ω
Per ωE= ω0(risonanza) l'angolo di fase zero del siste-
ma Ψ0S = 90°. Ciò vale anche per δ= 0 con relativa
transizione.
Con oscillazioni smorzate (δ> 0) e ωE< ω0si ottiene
0° ≤Ψ0S ≤90°, per ωE> ω0vale 90° ≤Ψ0S ≤180°.
Con oscillazioni non smorzate (δ= 0) vale Ψ0S = 0° con
ωE< ω0e Ψ0S = 180° per ωE> ω0.
4. Comandi
4.1 Oscillazione di torsione smorzata libera
•Collegare il freno a corrente di Foucault con l'usci-
ta per la tensione regolabile dell'alimentatore del
pendolo di torsione.
•Attivare l'amperometro nel circuito elettrico.
•Determinare la costante di smorzamento in fun-
zione della corrente.
4.2 Oscillazione di torsione forzata
•Collegare i jack di raccordo (16) del motore ad ecci-
tazione con l'uscita di tensione fissa dell'alimenta-
tore del pendolo di torsione.
•Collegare il voltmetro con i jack di raccordo (15)
del motore ad eccitazione.
•Determinazione dell'ampiezza di oscillazione in
funzione della frequenza dell'eccitatore o della ten-
sione di alimentazione.
•Se necessario, collegare il freno a corrente di
Foucault con l'uscita per la tensione regolabile del-
l'alimentatore del pendolo di torsione.
4.3 Oscillazioni caotiche
•Per la produzione di oscillazioni caotiche sono di-
sponibili 4 masse supplementari, che modificano
il momento di rovesciamento lineare del pendolo
di torsione.
•A tale scopo avvitare la massa supplementare sul
corpo del pendolo (5).

19
5. Esempi di esperimenti
5.1 Oscillazione di torsione smorzata libera
•Per la determinazione del decremento logaritmico
Λle ampiezze vengono misurate in più flussi e ven-
gono determinati i valori medi. A tale scopo le de-
viazioni del pendolo di torsione sulla scala di volta
in volta a sinistra e a destra vengono lette in due
serie di misure.
•Il punto di partenza del corpo del pendolo era com-
preso tra 15 e –15 sulla scala. Sono state lette cin-
que deviazioni.
•Dal rapporto delle ampiezze si ricava Λin base alla
formula
Λ =







In
ϕ
ϕ


n
n+1
n
ϕ

–
ϕ

+
0 –15 –15 –15 –15 15 15 15 15
1 –14,8 –14,8 –14,8 –14,8 14,8 14,8 14,8 14,8
2 –14,4 –14,6 –14,4 –14,6 14,4 14,4 14,6 14,4
3 –14,2 –14,4 –14,0 –14,2 14,0 14,2 14,2 14,0
4 –13,8 –14,0 –13,6 –14,0 13,8 13,8 14,0 13,8
5 –13,6 –13,8 –13,4 –13,6 13,4 13,4 13,6 13,6
nØ
ϕ

– Ø
ϕ

+ Λ – Λ +
0 –15 15
1 –14,8 14,8 0,013 0,013
2 –14,5 14,5 0,02 0,02
3 –14,2 14,1 0,021 0,028
4 –13,8 13,8 0,028 0,022
5 –13,6 13,5 0,015 0,022
•Il valore medio per Λammonta a Λ= 0,0202.
•Per la durata dell'oscillazione T del pendolo vale
t = n · T. A tale scopo misurare il tempo per 10 oscil-
lazioni con un cronometro e calcolare T.
T= 1,9 s
•Da questi valori è possibile determinare la costan-
te di smorzamento δcon δ= Λ/ T.
δ = 0,0106 s–1
•Per la frequenza propria ωvale
ωπδ =



−
2
T
2
2
ω = 3,307 Hz
5.2 Oscillazione di torsione smorzata libera
•Per la determinazione della costante di
smorzamento δin funzione della corrente Ιme-
diante l'elettromagnete è stato eseguito lo stesso
tentativo con il freno a corrente di Foucault inseri-
to con Ι= 0,2 A, 0,4 A e 0,6 A.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,2 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –13,6 –13,8 –13,8 –13,6 –13,7 0,0906
2 –12,6 –12,8 –12,6 –12,4 –12,6 0,13
3 –11,4 –11,8 –11,6 –11,4 –11,5 0,0913
4 –10,4 –10,6 –10,4 –10,4 –10,5 0,0909
5 9,2 –9,6 –9,6 –9,6 –9,5 0,1
•Con T = 1,9 s e Λ= 0,1006 medio si ottiene la co-
stante di smorzamento: δ= 0,053 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,4 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –11,8 –11,8 –11,6 –11,6 –11,7 0,248
2 –9,2 –9,0 –9,0 –9,2 –9,1 0,25
3 –7,2 –7,2 –7,0 –7,0 –7,1 0,248
4 –5,8 –5,6 –5,4 –5,2 –5,5 0,25
5 –4,2 –4,2 –4,0 –4,0 –4,1 0,29
•Con T = 1,9 s e Λ= 0,257 medio si ottiene la co-
stante di smorzamento: δ= 0,135 s–1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,6 A
n
ϕ

– Ø
ϕ

– Λ –
0 –15 –15 –15 –15 –15
1 –9,2 –9,4 –9,2 –9,2 –9,3 0,478
2 –5,4 –5,2 –5,6 –5,8 –5,5 0,525
3 –3,2 –3,2 –3,2 –3,4 –3,3 0,51
4 –1,6 –1,8 –1,8 –1,8 –1,8 0,606
5 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 –0,8 0,81
•Con T = 1,9 s e Λ= 0,5858 medio si ottiene la co-
stante di smorzamento: δ= 0,308 s–1
5.3 Oscillazione di torsione forzata
•Per la determinazione dell'ampiezza di oscillazio-
ne in funzione della frequenza di eccitazione o della
tensione di alimentazione viene letta la deviazio-
ne massima del corpo del pendolo.
T = 1,9 s
Tensione motore V
ϕ

3 0,8
4 1,1
5 1,2
6 1,6
7 3,3
7,6 20,0
8 16,8
9 1,6
10 1,1

20
•La frequenza del circuito proprio del sistema ω0si
ottiene dalla misurazione del periodo T
ω
0= 2 π/T = 3,3069 Hz
•In caso di tensione del motore pari a 7,6 V ha luo-
go la deviazione massima, ossia si verifica la riso-
nanza.
•Quindi è stato eseguito lo stesso tentativo con fre-
no a corrente di Foucault inserito con Ι= 0,2 A,
0,4 A e 0,6 A.
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,2 A
Tensione motore V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,2
6 1,7
7 2,9
7,6 15,2
8 4,3
9 1,8
10 1,1
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,4 A
Tensione motore V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,3
6 1,8
7 3,6
7,6 7,4
8 3,6
9 1,6
10 1,0
ΙΙ
ΙΙ
Ι= 0,6 A
Tensione motore V
ϕ

3 0,9
4 1,1
5 1,2
6 1,6
7 2,8
7,6 3,6
8 2,6
9 1,3
10 1,0
•Da queste misurazioni è possibile rappresentare
graficamente le curve di risonanza, tracciando le
ampiezze in funzione della tensione del motore.
•Dalla semilarghezza del grafo può essere determi-
nata graficamente la frequenza della risonanza.
1
5
10
15
20
A
[skt]
012 345678910
I=0,0A
I=0,2A
I=0,4A
I=0,6A
u[v]
Curve di risonanza
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